Tính chất hình chữ nhật, dấu hiệu nhận biết, cách chứng minh từ A – Z

Trong bài viết dưới đây, điện máy Ebest sẽ chia sẻ tới các bạn lý thuyết hình chữ nhật là gì? Dấu hiệu nhận biết và tính chất hình chữ nhật kèm theo các dạng bài tập về hình chữ nhật có lời giải chi tiết giúp bạn hệ thống lại kiến thức của mình để áp dụng vào làm bài tập nhé

Hình chữ nhật là gì?

Hình chữ nhật là một hình tứ giác có bốn góc vuông.

Ví dụ: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi ABCD là tứ giác có A^ˆ = B^ˆ = C^ˆ = D^ˆ = 90⁰

Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành cũng là một hình thang cân

Tính chất hình chữ nhật

Trong một hình chữ nhật có:

• Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Có tất cả các tính chất của hình thang cân và hình bình hành.
• Các đường chéo cắt nhau tạo thành 4 tam giác cân.
• Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.

Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật

• Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
• Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
• Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
• Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

THam khảo thêm:

• Tính chất hình vuông, dấu hiệu nhận biết, định nghĩa đầy đủ từ A – Z
• Hình thang là gì? Tính chất hình thang, cách chứng minh từ A – Z
• Tính chất hình bình hành, định nghĩa, dấu hiệu nhận biết từ A – Z

Bài tập về cách chứng minh hình chữ nhật

Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật

Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật.

• Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
• Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
• Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
• Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi D và E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Tứ giác ADME là hình gì? Tại sao?

Lời giải

ΔABC vuông tại A nên BAC^ˆ = 90⁰; mà D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh AC nên DAE^ˆ = 90⁰

Vì MD ⊥ AB tại D nên ADM^ˆ = 90⁰

ME ⊥ AC tại E nên AEM^ˆ = 90⁰

Xét tứ giác ADME có:

DAE^ˆ = ADM^ˆ = AEM^ˆ = 90⁰

Vậy tứ giác ADME là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

Lời giải

Ta có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có:

Lại có: G đối xứng với với D qua M => GM = MD GD = 2GM (2)

G đối xứng với E qua N => GN = EN => GE = 2GN (3)

Từ (1); (2); (3) => => G là trung điểm của BD; G là trung điểm CE

Xét tứ giác BCDE có:

G là trung điểm của đường chéo BD

G là trung điểm đường chéo CE

Do đó: tứ giác BCDE là hình bình hành

Lại có:

ΔABC cân tại A nên AB = AC. Mà M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB nên BN = CM

Xét tam giác BNC và tam giác CMB có:

BC chung

BN = CM

NBC^ˆ = MCBˆ (do tam giác ABC cân tại A)

Do đó: ΔBNC = ΔCMB (c – g –c)

=> CN = BM (hai cạnh tương ứng)

Mà

Do đó EC = BD.

Xét hình bình hành BCDE có hai đường chép EC và BD bằng nhau

=> Hình bình hành BCDE là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Dạng 2: Vận dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình chữ nhật và các kiến thức đã học về tứ giác đặc biệt.

Ví dụ 1: Tứ giác ABCD có AB ⊥ CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BC, BD, AD, AC. Chứng minh rằng EG = FH.

Vì E là trung điểm của BC, H là trung điểm của AC nên EH là đường trung bình của ΔABC => EH // AB (*) và EH = ½ AB (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Tương tự ta chứng minh được GF là đường trung bình của ΔABD => GF // AB và GF = ½ AB (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) => HE // GF; HE = GF => GHEF là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết) (**)

Mặt khác ta cũng chứng minh được EF là đường trung bình của ΔBCD => EF // CD (3)

Kết hợp với AB ⊥ CD (gt) (4)

Kết hợp (*), (3) và (4) => HE ⊥ EF => HEF^ˆ = 90⁰ (***)

Từ (**) và (***) ta có EFGH là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết). Từ đó suy ra hai đường chéo EG = FH (tính chất của hình chữ nhật).

Ví dụ 2:Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy điểm P tùy ý trên đường chéo BD. Gọi M là điểm đối xứng của C qua P.

a. Chứng minh AM // BD

b. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AD, AB. Chứng minh AEMF là hình chữ nhật

Lời giải

a. Gọi O là giao điểm của BD và AC

Ta có OP là đường trung bình của ΔAMC ⇒ OP // AM

b, Xét tứ giác AEMF có E^ˆ = A^ˆ = F^ˆ = 90⁰ ⇒ AEMF là hình chữ nhật

Dạng 3: Sử dụng định lý thuận và đảo của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông

Phương pháp giải: Sử dụng định lý về tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông để tính độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh các hình bằng nhau hoặc chứng minh tam giác vuông.

Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Biết HB = 2 cm, HD = 6 cm. Tính độ dài AB, AD.

Lời giải

Ta có: BD = HB + HD = 2 + 6 = 8 cm.

Xét tam giác giác BHA vuông tại H ta có:

BH² + AH² = AB² (định lý Py – ta – go)

⇔ AH² = AB² – BH²

⇔ AH² = AB² – 2²

⇔ AH² = AB² – 4 (1)

Xét tam giác AHD vuông tại H ta có:

HD² + AH² = AD² (định lý Py – ta – go)

⇔ AH² = AD² – HD²

⇔ AH² = AD² – 6²

⇔ AH² = AD² – 36 (2)

Từ (1); (2) => AB² – 4 = AD² – 36 (3)

Xét tam giác ABD vuông tại A có:

AB² + AD² = DB² (định lý Py – ta – go)

AB² + AD² = 8²

⇔ AB² = 64 – AD² thay vào (3)

⇔ 64 – AD² – 4 = AD² – 36

⇔ 2AD² = 96

⇔ AD² = 48

⇔ AD = 4√3

=> AB² = 64 – (4√3)²

⇔ AB² = 16

=> AB = 4 cm

Vậy AD = 4√3 ; AB = 4 cm

Dạng 4. Tìm điều kiện để tứ giác là hình chữ nhật

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh EFGH là hình bình hành.

b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là hình chữ nhật.

Lời giải

a) Ta có:

E là trung điểm của AB, H là trung điểm của AD nên HE là đường trung bình của ΔABD

⇒ HE // BD; HE = ½BD (1)

F là trung điểm BC, G là trung điểm của DC nên FG là đường trung bình của ΔBCD nên:

⇒ FG // BD; FG = ½BD (2)

Từ (1) và (2)

Xét tứ giác EFGH ta có

Do đó: EFGH là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết)

b) Giả sử EFGH là hình chữ nhật ⇒ HEF^ˆ = 90⁰ ⇔ HE ⊥ EF (3)

Ta có:

E là trung điểm của AB,

F là trung điểm của BC

Do đó: EF là đường trung bình của

=> EF //AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)

Mà HE // BD (chứng minh a) (5)

Từ (3), (4), (5) => BD ⊥ AC .

=> Tứ giác ABCD có 2 đường chéo vuông góc.

Tứ giác ABCD cần có thêm điều kiện hai đường chéo vuông góc thì EFGH là hình chữ nhật.

Bên trên chính là toàn bộ định nghĩa, dấu hiệu nhận biết và tính chất hình chữ nhật có thể giúp các bạn áp dụng để chứng minh tứ giác là hình chữ nhật đơn giản